通信原理¶

第一章¶

消息、信息、信号¶

消息 aka. message

通信系统传输的对象。信息的载体。

语音、图片、文字、符号等。
信息 aka. information

消息中包含的有效内容。信息是消息的内涵，消息是信息的物理表现。

天气情况（信息）可以用语音、文字（消息）表达。
信号 aka. signal

消息的传输载体。

天气情况（信息）可以用语音、文字、图片等形式（消息）呈现；语音、图片、文字（消息）都需要转化成电信号、声信号、光信号（信号）才能传输。

电信号、声信号等。

通信系统的一般模型¶

6元素

信源
发送设备
信道
噪声源
接收设备
信宿

模拟通信系统¶

数字通信系统¶

数字通信系统的特点¶

优点

抗干扰，噪声不累积
传输差错可控
便于处理
便于集成
便于加密

缺点

传输带宽大
系统设备复杂

通信系统分类¶

按业务

电报
电话
数据
图像

按调制

基带
带通

按信号特征

数字
模拟

按传输媒介

有线
无线

按工作波段

长波
中波
短波
远红外

按信号复用方式

频分复用
时分复用
码分复用

通信方式¶

单工、半双工、全双工
并行、串行

消息的信息量¶

$$ I(x) = \log_2 {1 \over P(x)} \,({\rm bit}) $$

符号集的信息量期望 aka. 平均信息量¶

设一个符号集里有$N$个符号，每个符号出现的概率是$P(x_k)$。那么每个符号的信息量的期望是 $$ H = \sum_{k = 1}^N P(x_k) \log_2 {1 \over P(x_k)} \,({\rm bit / char}) $$

频带利用率¶

有效性。

\begin{align} \eta = {R_{\rm B} \over B} \,({\rm char / s / Hz}) \end{align}

或

\begin{align} \eta_b = {R_{\rm b} \over B} \,({\rm bit / s / Hz}) \end{align}

码元传输速率¶

每秒传送的字符的个数。记为$R_{\rm B}$。

信息传输速率¶

每秒传送的信息量。记为$R_{\rm b}$。

对于一个平均信息量为$H$的字符集来说，其中每个字符的信息量平均值都是$H$，所以有 $$ R_{\rm b} = R_{\rm B} H $$

如果符号集是$M$进制的，即符号集里总共有$M$个字符。因为$H = \log_2 M$，所以$R_{\rm b} = R_{\rm B} \log_2 M$。

误码率¶

\begin{align} P_{\rm e} = {错误码元个数 \over 传输码元总数} \end{align}

误信率¶

\begin{align} P_{\rm b} = {错误比特个数 \over 传输比特总数} \end{align}

第三章随机过程¶

疑难¶

书P61 3-5¶

设$s(t)$是一个平稳随机脉冲序列，其功率谱密度为$P_s(f)$，求已调信号$e(t) = s(t) \cos(\omega_c t)$的功率谱密度$P_e(f)$。

一些理解¶

随机变量和随机过程的一些对比。

\begin{align} & P(X \leq x) = F_X(x) &&\longleftrightarrow && P(\xi(t_1) \leq x_1) = F_{\xi(t_1)}(x_1) \\ & P(Y \leq y) = F_Y(y) &&\longleftrightarrow && P(\xi(t_2) \leq x_2) = F_{\xi(t_2)}(x_2) \\ & P(X \leq x \wedge Y \leq y) = F_{XY}(x, y) &&\longleftrightarrow && P(\xi(t_1) \leq x_1 \wedge \xi(t_2) \leq x_2) = F_{\xi(t_1) \xi(t_2)}(x_1, x_2) \end{align}

用下标记随机变量的概率密度、概率分布函数太麻烦了，因此定义 \begin{align} f_{\xi(t_1)}(x_1) &\doteq f(x_1 \color{red}{; t_1}) \\ F_{\xi(t_1)}(x_1) &\doteq F(x_1 \color{red}{; t_1}) \end{align}

\begin{align} & E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) \,dx &&\longleftrightarrow && E[\xi(t_1)] = \int_{-\infty}^{+\infty} x_1 f_{\xi(t_2)}(x_1) \,dx_1 \\ & E[Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} y f_Y(y) \,dy &&\longleftrightarrow && E[\xi(t_2)] = \int_{-\infty}^{+\infty} x_2 f_{\xi(t_2)}(x_2) \,dx_2 \\ & E[X Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x y f_X(x) f_Y(y) \,dx dy &&\longleftrightarrow && E[\xi(t_1) \xi(t_2)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x_1 x_2 f_{\xi(t_1) \xi(t_2)}(x_1, x_2) \,dx_1 dx_2 \end{align}

从本质上来说，$\xi(t_1)$和$\xi(t_2)$就是两个不同的随机变量。它们可能相关可能不相关。

随机过程的一些特征¶

随机过程$\xi(t)$可以看做是：任意时刻$t$时的$\xi(t)$都是一个随机变量。

期望¶

$$ E[\xi(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x; t) \,dx $$

常记为$a(t)$或$\mu(t)$。

$E[\xi(t)]$只定义为某个$t$时刻的信号的期望。不同$t$时刻的信号的期望可能不同。

方差¶

\begin{align} D[\xi(t)] &= E\left[(\xi(t) - E[\xi(t)])^2\right] \\ &= E\left[\xi(t)^2\right] - E\left[\xi(t)\right]^2 \\ \end{align}

常记为$\sigma^2(t)$。

自相关¶

\begin{align} R(t_1, t_2) &= E[\xi(t_1) \xi(t_2)] \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x_1 x_2 f(x_1, x_2; t_1, t_2) \,dx_1 dx_2 \end{align}

协方差¶

\begin{align} B(t_1, t_2) &= E[(\xi(t_1) - E[\xi(t_1)])(\xi(t_2) - E[\xi(t_2)])] \\ &= R(t_1, t_2) - E[\xi(t_1)] E[\xi(t_2)] \end{align}

因为协方差和自相关只相差一个常数，所以通常用自相关。

严平稳随机过程¶

如果随机过程和时间无关，也就是说对于任意$t$，$\xi(t)$服从完全相同概率分布 \begin{align} \forall i, j, x: \quad f_{\xi(t_i)}(x) = f_{\xi(t_j)}(x) \end{align} 注意，这里没有因为所有随机变量服从完全相同的概率分布，就说所有随机变量都互相独立。服从完全相同的概率分布不等于每个变量互相独立。

因为任意时刻随机变量都服从同一个概率分布了，所以自然所有的一维统计特征都随时间无关了、所有的二维统计特征都只和时间间隔有关而与时刻无关。

广义平稳随机过程¶

期望$E[\xi(t)]$与$t$无关
自相关$R(t_1, t_2)$与$t_1, t_2$具体取值无关、而只与$t_2 - t_1$有关

验证某个随机过程是否是广义平稳过程¶

算期望$E[\xi(t)]$，判断是否和$t$有关
算自相关$R(t_1, t_2)$，判断是否只和$t_2 - t_1$有关

各态历经性 aka. 遍历性¶

随机过程的任意一次实现（我觉得叫实例更好）都经历了随机过程的所有可能状态。因此统计特征可以由某次实例的时间平均（对$t$平均）代替统计平均（对$x$平均）。

自相关函数的特性¶

\begin{align} R(\tau) = E[\xi(t) \xi(t + \tau)] \end{align}

$R(0) = E\left[\xi(t)^2\right]$。表示平均功率
$\lim_{\tau \to +\infty} R(\tau) = E[\xi(t)]^2$。表示直流功率
$\sigma^2 = R(0) - \lim_{\tau \to +\infty} R(\tau)$。表示方差

Wiener-Khinchine关系¶

\begin{align} R(\tau) \mathop{\mathrel{\longleftrightarrow}}^{\cal F} P(f) \end{align}

高斯过程¶

第四章信道¶

热噪声电压¶

热噪声电压有效值 \begin{align} V = \sqrt{4 k_B T R B} \end{align}

信道容量¶

有2种方式度量离散信道的容量

每个符号能传输的平均信息量 bit/char
单位时间内能传输的平均信息量 bit/s

这两种方式是等价的。中间只差一个码元传输速率。

每个符号能传输的平均信息量 \begin{align} C = H(X) - H(X | Y) \end{align}

单位时间内能传输的平均信息量 \begin{align} C_t = R_B [H(X) - H(X | Y)] \end{align}

书上的定义是$C = \max_{P(X)} [H(X) - H(X | Y)]$。我不懂这里的$\max$有什么意义，例题也没有用到。

我觉得有必要修正第一章里讲到的信息量的定义。因为这里出现了$H(X | Y)$。

定义随机变量$X$为发送的消息，$Y$为接收到的消息。这样样本空间$\Omega$是二维向量的集合 \begin{align} \Omega = \{&(x_1, y_1), (x_1, y_2), \ldots, (x_1, y_n), \\ &(x_2, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_2, y_n), \\ &\phantom{(}\vdots \\ &(x_i, y_1), (x_i, y_2), \ldots, (x_i, y_n), \\ &\phantom{(}\vdots \\ &(x_n, y_1), (x_n, y_2), \ldots, (x_n, y_n) \} \end{align}

书中“发送码元$x_i$”的概率写作$P(x_i)$，严格来写应该是$P(X = x_i)$，更严格来写应该是$P(\{(x_k, y_l)| x_k = x_i\})$。

发送消息的信息量是每个发送码元的信息量的概率加权平均 \begin{align} H(X) = \sum_{x_i} P(X = x_i) \log_2 {1 \over P(X = x_i)} \end{align}

条件信息量是接收码元已知后、发送码元的平均信息量对接收码元的概率的加权平均 \begin{align} H(X | Y) &= \underbrace{\sum_{y_j} P(Y = y_j)}_{接收码元概率的加权平均} \cdot \underbrace{\vphantom{\sum_{y_j}}H(X | Y = y_j)}_{接收码元已知后的平均信息量} \\ &= \sum_{y_j} P(Y = y_j) \sum_{x_i} P(X = x_i | Y = y_j) \log_2 {1 \over P(X = x_i | Y = y_j)} \end{align}

这个实在是太难理解了。

条件概率其实是很好算的，但是信道模型里线段上的概率是$P(Y = y_j | X = x_i)$的信息，而不是$P(X = x_i | Y = y_j)$。需要转换一下。由贝叶斯公式 \begin{align} P(X = x_i | Y = y_j) &= {P(X = x_i \land Y = y_j) \over P(Y = y_j)} \\ P(Y = y_j | X = x_i) &= {P(X = x_i \land Y = y_j) \over P(X = x_i)} \end{align} 所以 \begin{align} P(X = x_i | Y = y_j) = {P(Y = y_j | X = x_i) P(X = x_i) \over P(Y = y_j)} \end{align}

遇到计算信道容量的题，建议先写出每个条件的严格表达式，然后

用 \begin{align} P(Y = y_j) = \sum_{x_i} P(Y = y_j | X = x_i) P(X = x_i) \end{align} 算出每个$P(Y = y_j)$。
再算每个条件概率$P(X = x_i | Y = y_j)$。

第六章数字基带传输系统¶

基带信号功率谱特性¶

分为

单极性、NRZ
单极性、RZ
双极性、NRZ
双极性、RZ

带宽

NRZ带宽是$1 / T_{\rm B}$
RZ带宽是$2 / T_{\rm B}$

定时分量

单极性NRZ没有定时分量，但可以提取
单极性RZ有定时分量
双极性没有定时分量，也不能提取

	带宽	定时分量
单极性NRZ	$f_{\rm B}$	可提取
单极性RZ	$2f_{\rm B}$	有
双极性NRZ	$f_{\rm B}$	无
双极性RZ	$2f_{\rm B}$	无

码型 vs. 波形¶

传输码型¶

AMI码¶

把消息中的1交替变换成+1和-1。0保持不变

比如

01110
0+-+0

优点

没有直流分量
高频、低频分量少
编码、译码电路简单

缺点

连续出现很多0的时候，无法提取定时信号

$\rm HDB_3$码¶

标记出所有连续4个0的序列。这个叫破坏节。
每个破坏节前面、直到上一个破坏节之后，如果出现偶数个1，此破坏节变成B00V；如果出现奇数个1，此破坏节变成000V。
按AMI规则处理1。直到遇到某个破坏节。
处理破坏节如果破坏节是B00V
- 前面的1变成了+，B00V变成-00-
- 前面的1变成了-，B00V变成+00+
如果破坏节是000V
- 前面的1变成了+，000V变成000+
- 前面的1变成了-，000V变成000-

例子

1000 0100 0011 0000 0000 11 base
 [   ] [   ]   [  ] [  ] 破坏节
 
+000 V
 [   ]
+000 +

+000 +-00 0V
       [   ]
+000 +-00 0-

+000 +-00 0-+- B00V
               [  ]
+000 +-00 0-+- +00+

+000 +-00 0-+- +00+ B00V
                    [  ]
+000 +-00 0-+- +00+ -00-

+000 +-00 0-+- +00+ -00- +- hdb3
1000 0100 0011 0000 0000 11 base

双相码 aka. 曼彻斯特码 aka. biphase code¶

把0变成-+，1变成+-。

为什么明明是双极性，却用01。

比如

1 1 0 0
+-+--+-+

优点

定时信息丰富
编码简单
没有直流分量

缺点

带宽加倍

没有理解极性反转是什么意思

差分双相码 aka. 差分曼彻斯特码 aka. differential biphase code¶

每个码元开始的地方，有跳变表示1，无跳变表示0。

密勒码 aka. Miller code¶

简而言之就是看双相码，遇到一个下降沿就翻转一次。

把双相码接入T触发器的下降沿时钟端就可以得到密勒码。

CMI码 aka. 传号反转码 aka. coded mark inversion¶

0用01表示。1交替用11、00表示（无关紧邻还是不紧邻）。

nBmB码¶

把n个二进制码变成另一组m个二进制码。

双相码、密勒码、CMI码都可以看做1B2B码。

优点

同步
检错

缺点

带宽增大

nBmT码¶

把n个二进制码变成另一组m个三进制码。

码间串扰¶

无码间串扰的时域条件 \begin{align} h(k T_s) = \left\{\begin{aligned} &C \neq 0 &&\qquad, k = 0 \\ &0 &&\qquad, k \neq 0 \end{aligned}\right. \end{align}

无码间串扰的频域条件 aka. 奈奎斯特第一准则 \begin{align} \forall |f| \leq {1 \over 2 T_s}: \qquad \sum_{k = -\infty}^{\infty} H\left[j 2 \pi\left(f + {k \over T_s}\right)\right] = C \end{align}

相当于，把$H(j 2 \pi f)$以$\left({k \over T_s} - {1 \over 2 T_s}, {k \over T_s} + {1 \over 2 T_s}\right)$区间分开，并且都搬移到$\left(- {1 \over 2 T_s}, {1 \over 2 T_s}\right)$、叠加，应当是一个常数。

奈奎斯特速率¶

系统无码间串扰的最高传输速率${1 \over T_s}$。

其实如果$T_s$是能保证系统无码间串扰的最小采样间隔，那么对于任意正整数$n$，以$n T_s$间隔传输都不会有码间串扰。相当于隔了几个零点采样。

奈奎斯特带宽¶

系统无码间串扰的最高传输速率的一般${1 \over 2 T_s}$。

基带系统误码率¶

二进制双极性¶

误码率 \begin{align} P_e = {1 \over 2} \operatorname{erfc}\left(A \over \sqrt{2} \sigma_n\right) \end{align}

最佳判决电平 \begin{align} V_d = {\sigma_n^2 \over 2 A} \ln {P(0) \over P(1)} \end{align}

信噪比？ \begin{align} {\rm SNR} = {A^2 \over \sigma_n^2} \end{align}

二进制单极性¶

误码率 \begin{align} P_e = {1 \over 2} \operatorname{erfc}\left(A \over 2 \sqrt{2} \sigma_n\right) \end{align}

最佳判决电平 \begin{align} V_d = {A \over 2} + {\sigma_n^2 \over A} \ln {P(0) \over P(1)} \end{align}

信噪比？ \begin{align} {\rm SNR} = {A^2 \over 2 \sigma_n^2} \end{align}

部分响应¶

第七章数字带通传输系统¶

数字调制的两种方法

模拟调制

把数字信号看成普通的模拟信号。模拟信号该怎么调制数字信号也怎么调制。
开关键控

充分利用数字信号的离散特点，用开关控制载波。

2ASK¶

调制¶

调制后信号 \begin{align} e(t) = s(t) \cos (2 \pi f_c t) \end{align} 其中$s(t) \in \{0, 1\}$是单极性、NRZ基带逻辑信号。

功率谱密度 \begin{align} P(f) = {1 \over 4} \left[P_s(f - f_c) + P_s(f + f_c)\right] \end{align} 其中$P_s(f)$是基带逻辑信号的功率谱密度。相当于把$P_s(f)$复制平移到了$\pm f_c$上。卷积原理。

主瓣带宽 \begin{align} B = 2 f_s = {2 \over T_s} \end{align} 取决于$s(t)$的功率谱。

解调¶

非相干 aka. 包络检波法

\begin{align} 全波整流（取绝对值) \to 低通滤波 \to 抽样判决 \end{align}
相干 aka. 同步检测法

用类似模拟信号解调的方法。

\begin{align} 乘载波信号 \to 低通滤波 \to 抽样判决 \end{align}

误码率¶

与解调方式有关

非相干

\begin{align} \end{align}
相干

2FSK¶

调制¶

开关键控法调制后信号 \begin{align} e(t) = \underbrace{s(t)}_{s_1(t)} \cos(2 \pi f_1 t + \phi_1) + \underbrace{[1 - s(t)]}_{s_2(t)} \cos(2 \pi f_2 t + \phi_2) \end{align} 要注意开关键控法调制的信号，相位不一定连续。而模拟调频法产生的是相位连续的信号。

功率谱 \begin{align} P(f) &= \overbrace{{1 \over 4} [P_{s1}(f - f_1) + P_{s1}(f + f_1)]}^{s(t)\cos(2 \pi f_1 t + \phi_1) 的功率谱} \\ &\phantom{=}+ \underbrace{{1 \over 4} [P_{s2}(f - f_2) + P_{s2}(f + f_2)]}_{[1 - s(t)] \cos(2 \pi f_2 t + \phi_2)的功率谱} \end{align} 因为2FSK调制信号可以看做是两个载波信号不同的2ASK调制信号的叠加。根据傅里叶变换的线性性质，功率谱当然也可以看做两个信号的功率谱的叠加。

主瓣带宽 \begin{align} B \approx |f_2 - f_1| + 2 f_s \end{align}

解调¶

非相干
相干

用类似模拟信号的解调方法。

2PSK¶

用绝对相位表示二进制逻辑。

调制¶

调制后信号 \begin{align} e(t) = [2 s(t) - 1] \cos(2 \pi f_c t) \end{align}

这里明显用$2 s(t) - 1$更方便，不知道为什么非要混淆定义、让$s(t)$又去代表一个双极性逻辑信号。

功率谱密度 \begin{align} P(f) = {1 \over 4} [P_{2s-1}(f - f_c) + P_{2s-1}(f + f_c)] \end{align}

主瓣带宽 \begin{align} B = 2 f_s = {2 \over T_s} \end{align} 和2ASK一样。

2DPSK¶

用相位是否跳变表示二进制逻辑。

主瓣带宽 \begin{align} B = 2 f_s = {2 \over T_s} \end{align} 和2PSK一样。

解调¶

相干解调

解调的方法比2PSK的解调方法只多一个步骤。就是在得到相对码之后，再转为绝对码。 \begin{align} 乘载波 \to 低通滤波 \to 抽样判决 \color{red}{\mathop{\to}^{相对码} 码反变换} \end{align}

差分相干解调 aka. 相位比较法

\begin{align} 乘延迟了一个抽样间隔的自身 \to 低通滤波 \to 抽样判决 \end{align}

MASK¶

带宽 \begin{align} B = \max_{i \neq j} |f_i - f_j| + f_s \end{align}

MFSK¶

MPSK¶

MDPSK¶

MSK aka. 最小频移键控¶

第九章¶

模拟信号数字化¶

采样
量化
编码

抽样定理¶

\begin{align} f_s > 2 f_\max \end{align}

均匀量化¶

模拟信号的范围是$[a, b]$，量化电平数量是$M$个。这样均匀量化间隔是 \begin{align} \Delta v = {b - a \over M} \end{align}

量化区间的端点是 \begin{align} m_i = a + i \Delta v, \qquad i \in \{0, 1, \ldots, M\} \end{align} 第$i$个量化区间的范围是 \begin{align} [m_{i-1}, m_i], \qquad i \in \{1, \ldots, M\} \end{align}

第$i$个量化输出电平是 \begin{align} q_i \in (m_{i-1}, m_i) \end{align} 如果取每个量化间隔区间的中点，那么 \begin{align} q_i = {m_{i-1} + m_i \over 2} = a + \left(i - {1 \over 2}\right) \Delta v \end{align}

均匀量化噪声¶

量化一定会带来噪声，因为抽样值不再连续。

假设量化电平数量是$M$个，模拟信号范围是$[a, b]$。设抽样信号随机变量是$S$，那么量化信号$m_q(S)$是$S$的分段函数 \begin{align} m_q(S) = \left\{\begin{aligned} & q_1, &&\qquad a \leq S < a + \Delta v \\ & q_2, &&\qquad a + \Delta v \leq S < a + 2 \Delta v \\ & \vdots &&\qquad \vdots \\ & q_i, &&\qquad a + (i - 1) \Delta v \leq S < a + i \Delta v \\ & \vdots &&\qquad \vdots \\ & q_M, &&\qquad b - \Delta v \leq S \leq b \end{aligned}\right. \end{align} 所以量化噪声功率是 \begin{align} N_q &= E\left[(S - m_q(S))^2\right] \\ &= \int_a^b (s - m_q(s))^2 f_S(s) \,ds \\ &= \sum_{i=1}^M \int_{m_{i-1}}^{m_i} (s - q_i)^2 f_S(s) \,ds \end{align} $f_S(s)$是抽样信号的概率密度函数。

特例如果量化输出电平正好是每个量化间隔区间的中点、输入信号在$[a, b]$之间均匀分布，那么上面的式子变成 \begin{align} P_n &= \sum_{i=1}^M \int_{a + (i - 1) \Delta v}^{a + i \Delta v} (s - q_i)^2 {1 \over b - a} \,ds \\ &= \sum_{i=1}^M {(\Delta v)^3 \over 12 (b - a)} \\ &= {M \over 12 (b - a)} (\Delta v)^3 \\ &= {1 \over 12} \left({b - a \over M}\right)^2 \end{align}

信号功率 \begin{align} P_s &= E[S^2] \\ &= \int_a^b s^2 f_S(s) ds \end{align}

特例如果输入信号在$[a, b]$之间均匀分布，那么信号功率变成 \begin{align} P_s = {1 \over 3} \cdot {b^3 - a^3 \over b - a} \end{align}

信噪比为 \begin{align} {P_s \over P_n} = {b^3 - a^3 \over (b - a)^3} \cdot 4 M^2 \end{align}

非均匀量化¶

均匀量化的问题

一般情况下信号幅度不会太大
信号小时，信号信噪比太小

为了保持信号小时信噪比恒定，需要非均匀量化。理论上 \begin{align} y = 1 + {1 \over k} \ln x \end{align} 但是这个关系不符合因果律。

A律¶

\begin{align} y = \left\{\begin{aligned} & {A x \over 1 + \ln A}, &&\qquad 0 < x \leq {1 \over A} \\ & {1 + \ln (A x) \over 1 + \ln A}, &&\qquad {1 \over A} \leq x \leq 1 \end{aligned}\right. \end{align} $A$通常选择为87.6。目的是

原点附近斜率近似等于16
折线端点上的横坐标近似等于2的负次方

A律通常配合13折线法实现。一共13条斜率不同的折线、14个端点。

其实本来应该有16条折线，但是其中有4条折线斜率相同，它们合并为1条折线。这4条折线是原点紧邻的四条折线。

仅看第一象限，有8段、9个端点、7个斜率

(0, 0)
(1/128, 1/8)
(1/64, 2/8)
(1/32, 3/8)
(1/16, 4/8)
(1/8, 5/8)
(1/4, 6/8)
(1/2, 7/8)
(1, 1)

除了(0, 0)和(1, 1)之外的其他点可以概括成 \begin{align} \left({1 \over 2^i}, 1 - {i \over 8}\right), \qquad i \in \{0, 1, \ldots, 7, 8\} \end{align}

$\mu$律¶

如果不考虑使原点附近斜率近似为16，可以让折线端点横坐标更近似等于2的负次方 \begin{align} y = {\ln(1 + \mu x) \over \ln(1 + \mu)} \end{align} 并配合15折线律。一共15条斜率不同的折线、16个端点

同样，其实本来应该有16条，但是其中2条穿过原点的折线斜率相同，所以合并成1条。

仅看第一象限，有8段、9个端点、8个斜率

(0, 0)
(1/255, 1/8)
(3/255, 2/8)
(7/255, 3/8)
(15/255, 4/8)
(31/255, 5/8)
(63/255, 6/8)
(127/255, 7/8)
(1, 1)

除了(0, 0)和(1, 1)之外的其他点可以概括成 \begin{align} \left({2^i - 1 \over 255}, {i \over 8}\right), \qquad i \in \{0, 1, \ldots, 7, 8\} \end{align}

编码¶

8位码推导方法 \begin{align} \underbrace{C_1}_{极性码} \,\underbrace{C_2 C_3 C_4}_{段码} \,\underbrace{C_5 C_6 C_7 C_8}_{段内码} \end{align}

极性码

用来标记正负。

正 = 1

负 = 0
段码

用来标记是属于哪段折线。

很简单，看那个电压在哪段折线里。

比如0.62，因为$1 / 2 < 0.62 < 1$，所以在第7段（倒数第一段）里。所以$C_2 C_3 C_4 = 7 = 111_2$

这里的段从0开始数比较方便，只要直接转换成二进制就是段码了。
段内码

用来标记属于这段折线上的16个量化间隔里的哪个间隔。

很简单，逐次比较，比较4次就可以。或者如果能一眼看出也可以。

比如0.62
1. 看在0-7间隔还是8-15间隔
  
  因为$1 / 2 < 0.62 < 3 / 4$，在0-7间隔，所以$C_5 = 0$。
2. 看在0-3间隔还是4-7间隔
  
  因为$1 / 2 < 0.62 < 5 / 8$，在0-3间隔，所以$C_6 = 0$。
3. 看在0-1间隔还是2-3间隔
  
  因为$9 / 16 < 0.62 < 5 / 8$，在2-3间隔，所以$C_7 = 1$。
4. 看在2还是3间隔
  
  因为$19 / 32 < 0.62 < 5 / 8$，在3间隔，所以$C_8 = 1$。
所以$C_5 C_6 C_7 C_8 = 0011_2$。

最终$C_1 C_2 C_3 C_4 C_5 C_6 C_7 C_8 = 1111\,0011_2$。

时分复用 aka. TDM¶

时隙

时间片。
帧

一轮时间片。帧的长度就是两次回到同一个时间片之间的时间间隔。

例题¶

由奈奎斯特率 \begin{align} f_s > 2 f_\max = 8 \,{\rm kHz} \end{align} 所以最小采样频率是$8 \,{\rm kHz}$。

量化间隔$\Delta v = 0.002$，输入信号范围是$[-4.096, +4.096]$。所以量化电平个数是 \begin{align} M = {b - a \over \Delta v} = {4.096 + 4.096 \over 0.002} = 4096 = 2^{12} \end{align} 所以每个样本的比特数是12。

如果要保证采样、传送同步进行，那么每个比特的持续时间是 \begin{align} T_b = {T_s \over 12} = {1 \over 12 f_s} \end{align} 即比特率是 \begin{align} R_b = {1 \over T_b} = 12 f_s \end{align}

如果是12进制码组，那么每个码元持续时间可以和采样间隔一样

\begin{align} T_B = T_s = {1 \over f_s} \end{align}

如果用最节省带宽的二进制NRZ基带信号传输系统，需要带宽 \begin{align} B = R_b = 12 f_s = 96 \,{\rm kHz} \end{align}

但是如果是12进制NRZ基带传输系统，那么带宽更低，就是$f_s$了。

此处存疑

最小量化间隔 \begin{align} 4.096 \cdot \underbrace{1 \over 128}_{段} \cdot \underbrace{1 \over 16}_{段内} = 0.002 \end{align}

段间量化间隔最小的是第1、2段，只有$1 / 128$。而且再配合段内16级量化，那么最小量化间隔就是幅值的$1 / 2048$。

第十章数字信号的最佳接收¶

最佳的准则

最小差错概率

相关接收
最大输出信噪比

匹配接收

确知信号的最佳接收¶

以二进制为例，如果 \begin{align} W_1 + \int_0^{T_B} r(t) s_1(t) \,dt < W_0 + \int_0^{T_B} r(t) s_0(t) \,dt \end{align} 就判定发送的是$s_0(t)$。反之就是$s_1(t)$。

其中 \begin{align} W_0 &= {n_0 \over 2} \ln P(0) \\ W_1 &= {n_0 \over 2} \ln P(1) \end{align} $P(0), P(1)$是发送0或1的先验概率。

这样接收机的框图也很容易出来。接收信号进来分成两路。上路乘$s_0(t)$、积分、加$W_0$；下路乘$s_1(t)$、积分、加$W_1$。两路信号再经过判决器，按照上面的不等式来判定是0还是1。

如果先验概率相等，那么都不用分别加$W_0, W_1$了。

最小误码率¶

码元能量 \begin{align} E_0 &= \int_0^{T_B} |s_0(t)|^2 \,dt \\ E_1 &= \int_0^{T_B} |s_1(t)|^2 \,dt \end{align} 如果$E_0 = E_1$，那么记$E_b = E_0 = E_1$。

相关系数 \begin{align} \rho &= {\langle s_0(t), s_1(t) \rangle \over \sqrt{\langle s_0(t), s_0(t)\rangle \cdot \langle s_1(t), s_1(t) \rangle}} \\ &= {\int_0^{T_B} s_0(t) s_1(t) \,dt \over \sqrt{E_0 E_1}} \end{align}

$s_0(t) = s_1(t)$时，$\rho = 1$，最大。

$s_0(t) = - s_1(t)$时，$\rho = -1$，最小。

2FSK的时候还会出现$\rho = 0$，此时称为正交。

误码率 \begin{align} P_e = {1 \over 2} \operatorname{erfc} \sqrt{E_b (1 - \rho) \over 2 n_0} \end{align}

匹配滤波接收¶

匹配滤波器的单位冲激响应 \begin{align} h(t) = s(T_s - t) \end{align}

传输函数 \begin{align} H(j 2 \pi f) = S^*(f) \cdot e^{- j 2 \pi f T_s} \end{align}

接收机框图就是接收信号分为上下两路。上路经过$h_0(t)$滤波器，下路经过$h_1(t)$滤波器。两路合并做判决。

第十三章同步原理¶

载波同步

为了在接收机端产生一个和接收信号的载波同频率、同相位的本地振荡信号。用于相干解调。
码元同步 aka. 位同步

得知每个码元的起止时间，作判决。
群同步 aka. 帧同步

为了将接收码元正确分组。

e.g. 我们知道ascii每个字符都是7个bit，但是当一串bit传过来的时候，我们怎么才能知道从哪里开始算这7个bit呢？

e.g. 一张图片有很多byte，但是图片需要在知道长、宽的情况下才能显示出来。
网同步

为了使通信网络中每个站点的时钟保持同步。

载波同步¶

根据信号里有没有额外的用于提示接收机产生载波频率振荡的信息，区别对待。如果

有辅助导频

在接收端用窄带通滤波器过滤出载波频率。
无辅助导频

例如先验概率相等的2PSK信号里没有离散频率分量。

可以用非线性的方法获得载波频率。
- 平方环
- 科斯塔斯环

平方环¶

以先验概率相等的2PSK信号为例 \begin{align} e(t) = s(t) \cos(2 \pi f_c t) \end{align} 如果在接收端平方 \begin{align} e(t)^2 &= s(t)^2 \cos^2 (2 \pi f_c t) \\ &= {1 \over 2} [1 + \cos (2 \cdot 2 \pi f_c t)] \end{align} 含有$2 f_c$频率分量。

\begin{align} 平方 \to 锁相 \to 2分频 \end{align}

科斯塔斯环 aka. 同相正交环 aka. 边环¶

平方环的问题

平方后，频率加倍，锁相环、2分频电路的工作频率加倍，实现难度加大

码元同步 aka. 位同步¶

外同步 aka. 插入导频法

需要在信号中另外加入包含码元定时信息的导频或者数据序列。
自同步 aka. 直接法

不需要辅助同步信息。
- 开环同步法
- 闭环同步法

通信原理¶

第一章¶

消息、信息、信号¶

通信系统的一般模型¶

模拟通信系统¶

数字通信系统¶

数字通信系统的特点¶

通信系统分类¶

通信方式¶

消息的信息量¶

符号集的信息量期望 aka. 平均信息量¶

频带利用率¶

码元传输速率¶

信息传输速率¶

误码率¶

误信率¶

第三章 随机过程¶

疑难¶

书P61 3-5¶

一些理解¶

随机过程的一些特征¶

期望¶

方差¶

自相关¶

协方差¶

严平稳随机过程¶

广义平稳随机过程¶

验证某个随机过程是否是广义平稳过程¶

各态历经性 aka. 遍历性¶

自相关函数的特性¶

Wiener-Khinchine关系¶

高斯过程¶

第四章 信道¶

热噪声电压¶

信道容量¶

第六章 数字基带传输系统¶

基带信号功率谱特性¶

码型 vs. 波形¶

传输码型¶

AMI码¶

$\rm HDB_3$码¶

双相码 aka. 曼彻斯特码 aka. biphase code¶

差分双相码 aka. 差分曼彻斯特码 aka. differential biphase code¶

密勒码 aka. Miller code¶

CMI码 aka. 传号反转码 aka. coded mark inversion¶

nBmB码¶

nBmT码¶

码间串扰¶

奈奎斯特速率¶

奈奎斯特带宽¶

基带系统误码率¶

二进制双极性¶

二进制单极性¶

部分响应¶

相关编码¶

第七章 数字带通传输系统¶

2ASK¶

调制¶

解调¶

误码率¶

2FSK¶

调制¶

解调¶

2PSK¶

调制¶

2DPSK¶

解调¶

MASK¶

MFSK¶

MPSK¶

MDPSK¶

MSK aka. 最小频移键控¶

第九章¶

模拟信号数字化¶

抽样定理¶

均匀量化¶

均匀量化噪声¶

非均匀量化¶

A律¶

$\mu$律¶

第三章随机过程¶

第四章信道¶

第六章数字基带传输系统¶

第七章数字带通传输系统¶

第十章数字信号的最佳接收¶

第十三章同步原理¶